· 符号与约定

为避免可能出现的歧义，先对相关符号进行约定．

• 线性空间：本文目标是展示出直观的图像，因此考虑的线性空间 $V$ 默认是欧式空间 $\mathbb{R}^n$．依照惯例，$\mathbb{R}^n$ 中的向量都是列向量．同时也应注意到，本文在尽力保证一般性．对于那些不涉及 $ \mathbb{R}^n$ 特殊性质的论述，几乎可以原封不动地推广至更一般的线性空间．

• 基： 一个基由能生成全空间且线性无关的一组向量构成．我们用希腊字母表示一个基，例如 $\eta=\left(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n\right)$，其中 $\eta_i\in \mathbb{R}^n(i=1,2,\cdots,n)$ 称作基 $\eta$ 的第 $i$ 个基向量．

• 标准正交基： $\epsilon=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)$, 其中 $\epsilon_i\in\mathbb{R}^n\left(i=1,2,\cdots,n\right)$ 的第 $i$ 个分量为 $1$，其余分量为 $0$．

• 坐标：因为本文会考虑多个基，所以有必要将坐标和向量的概念加以区分．如果向量 $v=(v_1,v_2,\cdots,v_n )^T$，则 $ v $ 在基 $ \eta $ 下的坐标 $ v^\eta=(v^\eta_1, v^\eta_2,\cdots, v^\eta_n)^T $ 是一个 $n$ 维向量，由

  $$v^\eta_1 \eta _1+\cdots+ v^\eta_n \eta _n = ( \eta_1 \; \eta_2 \;\cdots\; \eta_n)\begin{pmatrix} v^\eta_1 \\ v^\eta_2 \\ \vdots\\ v^\eta_n \end{pmatrix} =v$$

  确定．特别地，$v^\epsilon =(\epsilon_1 , \epsilon_2 , \cdots, \epsilon_n )v^\epsilon=v$．

• 基矩阵：$M_{\eta}$ $=( \eta_1^{\epsilon} \; \eta_2^\epsilon \; \cdots \; \eta_n^\epsilon)$．注意基向量的坐标是列向量，因此得到基矩阵唯一自然的方式就是按列拼合．事实上，根据上面的讨论，我们有

  $$M_ \eta=(\eta_1 \;\eta_2 \; \cdots \; \eta_n).$$

  观察可知，标准正交基的基矩阵 $M_\epsilon$ 就是单位矩阵 $I$；$v^\eta=M_\eta ^{-1}v$．

• 线性变换： $ \mathbb{R}^n$ 上的线性变换 $ \mathcal{A}$ 是一个 $ \mathbb{R}^n$ 到 $ \mathbb{R}^n$ 的映射，满足 $ \forall v_1,v_2\in\mathbb{R}^n$，$\forall \lambda _1, \lambda _2\in\mathbb{R}$，

  $$\mathcal{A} (\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2)= \lambda_1 \mathcal{A} (v_1)+\lambda_2 \mathcal{A} (v_2).$$

  $ \mathcal{A} (v)$ 通常简记为 $ \mathcal{A} v$．

· 线性变换的矩阵表示

有了这些约定后，我们还需要做一点必要的铺垫．我们将说明，线性变换能在给定的基下表示成矩阵．反过来，给定一个基，一个矩阵也能确定一个线性变换．

理解线性空间的一种方式，是想象它由基线性生成．基是一个基础框架，而向量则是「长」在基上．比起考虑线性变换 $ \mathcal{A} $ 在整个 $ \mathbb{R}^n$ 上进行作用，更简单的方式是考虑它在基上的作用．一旦清楚了它在基上的作用，它对生长在基上的向量的作用也就一清二楚了．具体来说，如果 $ \mathcal{A} $ 是这么生成的：

$$v=v^\eta_1 \eta_1+\cdots+ v^\eta_n \eta_n ,$$

即 $ v $ 在基 $ \eta $ 下的坐标是 $ v^\eta $，那么

$$\mathcal{A} v= \mathcal{A} ( v^\eta_1 \eta_1+\cdots+ v^\eta_n \eta_n )=v^\eta_1 \mathcal{A} \eta_1 +\cdots + v^\eta_n \mathcal{A} \eta_n,$$

即 $ \mathcal{A} v $ 在基 $ \mathcal{A} \eta=(\mathcal{A} \eta_1,\cdots, \mathcal{A} \eta_n) $ 上的坐标也是 $ v^\eta $．
由此可以看出，虽然 $ v $ 和 $ \mathcal{A} v $ 长在了不同的基（ $ \eta $ 和 $ \mathcal{A} \eta$）上，但是它们的生长方式（坐标）是一样的．
我们断言，如果知道了 $ \mathcal{A} $ 在旧基 $ \eta $ 上的作用的结果，又或者知道了新基 $ \mathcal{A} \eta $ 在旧基 $ \eta $ 下的坐标，
$ \mathcal{A} $ 的全部信息就已经知悉了．事实上，假设

$$\mathcal{A} \eta_i = (\eta_1\; \eta_2\;\cdots\; \eta_n )\begin{pmatrix}a_{i1}\\a_{i2}\\ \vdots\\a_{in} \end{pmatrix}$$

即

$$( \mathcal{A} \eta_1 \; \mathcal{A} \eta_2 \;\cdots\; \mathcal{A} \eta_n) = (\eta_1\; \eta_2\;\cdots\; \eta_n ) \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} &\cdots&a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} &\cdots&a_{2n}\\ \vdots& \vdots &&\vdots\\ a_{n1}& a_{n2} &\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}．$$

将 $ \mathcal{A} \eta $ 在基 $ \eta $ 下的这 $ n $ 个坐标向量排成的矩阵记作

$$A^\eta= \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} &\cdots&a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} &\cdots&a_{2n}\\ \vdots& \vdots &&\vdots\\ a_{n1}& a_{n2} &\cdots&a_{nn} \end{pmatrix} = \left( (\mathcal{A} \eta_1)^ \eta \; (\mathcal{A} \eta_2)^ \eta \;\cdots\; (\mathcal{A} \eta_n)^ \eta\right) ,$$

称作 $ \mathcal{A} $ 在基 $ \eta $ 下的矩阵表示．这种叫法是合理的，因为我们马上会看到，$ A ^\eta $ 连同基 $ \eta $ 确定了 $ \mathcal{A} $ 在 $ \mathbb{R}^n$ 中任一向量上作用的结果，从而完全确定了 $ \mathcal{A} $．任取 $ v\in\mathbb{R}^n $ , 我们有

$$\mathcal{A} v = v^\eta_1 \mathcal{A} \eta_1 +\cdots + v^\eta_n \mathcal{A} \eta_n =( \mathcal{A} \eta_1 \; \mathcal{A} \eta_2 \;\cdots\; \mathcal{A} \eta_n) \begin{pmatrix} v^\eta_1 \\ v^\eta_2 \\ \vdots\\ v^\eta_n \end{pmatrix} =(\eta_1\;\eta_2 \; \cdots \; \eta_n) A ^\eta v ,$$

这表明 $\mathcal{A}^\eta v$ 在基 $\eta$ 下的坐标就是 $A^\eta v $．特别地，在标准正交基下，$ \mathcal{A} v= A^\epsilon v $．

更进一步，可以证明矩阵与线性变换的这种一一对应保持线性运算、乘法（映射复合）和单位元．它同时构成线性同构、环同构和结合代数同构．

· 直观理解线性变换

现在让我们把目光转向具体的欧式平面．假设我们在 $ \mathbb{R}^2 $ 上选取了标准正交基 $ \epsilon $，此时向量在基下的坐标就等于自己本身．那么矩阵

$$A^\epsilon = \begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{pmatrix}$$

表示的线性变换是什么样子的呢？根据前面得到的结论，$A^\epsilon$ 的第 $i$ 列就是线性变换作用在标准正交基第 $ i$ 个基向量上得到的新向量的坐标，所以 $ A^\epsilon $ 的第 $i$ 列就等于$ A^\epsilon \epsilon_i $．当然，我们也可以直接根据关系式

$$(\mathcal{A} \epsilon_1 \; \mathcal{A} \epsilon_2 \;\cdots\; \mathcal{A} \epsilon_n) = ( \epsilon_1\; \epsilon_2\;\cdots\; \epsilon_n ) A ^\epsilon =IA ^\epsilon =A ^\epsilon$$

看出这一点．因为 $ \epsilon_1=(1,0)^T $ 被映成 $ A^\epsilon \epsilon_1=(1,1)^T $，$ \epsilon_2=(0,1)^T $ 被映成 $ A^\epsilon \epsilon_2=(-1,1)^T $，于是我们知道，$ A^\epsilon $ 表示的线性变换是将坐标轴逆时针旋转 $ 45° $ 并拉伸 $\sqrt{2}$ 倍．

· 基变换与相似矩阵

下面将说明一个重要事实，给定一个线性变换，它在不同基下的矩阵是相似的．

设 $ \eta,\zeta $ 是两个基，那么我们令线性变换 $ \mathcal{T} $ 由下式确定

$$\mathcal{T}(\lambda_1\eta_1+\cdots+ \lambda_n\eta_n )= \lambda_1\zeta_1+\cdots+ \lambda_n\zeta_n ,$$

则得到了一个将 $ \eta_i $ 映成 $ \zeta_i (i=1,2,\cdots,n) $ 的线性变换．换言之，基 $ \zeta $ 就等于基 $ \mathcal{T} \eta $．$ \mathcal{T} $ 称作从基 $ \eta $ 到基 $ \zeta $ 的转移变换，$ \mathcal{T} $ 在基 $ \eta $下的矩阵表示 $ T^\eta $ 称作从基 $ \eta $ 到基 $ \zeta $ 的转移矩阵．

给定一个线性变换 $ \mathcal{A} $，一方面

$$( \mathcal{A} \zeta_1 \; \mathcal{A} \zeta_2 \;\cdots\; \mathcal{A} \zeta_n) = (\zeta_1\; \zeta_2\;\cdots\; \zeta_n )A^\zeta = ( \mathcal{T} \eta_1 \; \mathcal{T} \eta_2 \;\cdots\; \mathcal{T} \eta_n) A^\zeta = (\eta_1\; \eta_2\;\cdots\; \eta_n )T^\eta A^\zeta .$$

另一方面，

$$(\mathcal{A} \zeta_1 \; \mathcal{A} \zeta_2 \;\cdots\; \mathcal{A} \zeta_n) = ( \mathcal{A} \mathcal{T} \eta_1\; \mathcal{A} \mathcal{T} \eta_2\;\cdots\; \mathcal{A} \mathcal{T} \eta_n )= (\eta_1\; \eta_2\;\cdots\; \eta_n ) A^\eta T^\eta .$$

由此我们得到

$$A^\zeta = (T^\eta)^{-1} A^\eta T^\eta ,$$

即同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的．

· 基变换与坐标变换

设 $ \mathcal{T} $ 是从基 $ \eta $ 到基 $ \zeta $ 的转移变换，$ T^\eta $ 是从基 $ \eta $ 到基 $ \zeta $ 的转移矩阵．若 $ v $ 在旧基 $ \eta $ 下的坐标表示为

$$v= ( \eta _1 \; \eta _2 \;\cdots\; \eta _n)\begin{pmatrix} v^\eta_1 \\ v^\eta_2 \\ \vdots\\ v^\eta_n \end{pmatrix},$$

$ v $ 在新基 $ \zeta $ 下的坐标表示为

$$v= ( \zeta _1 \; \zeta _2 \;\cdots\; \zeta _n) \begin{pmatrix} v^\zeta_1 \\ v^\zeta_2 \\ \vdots\\ v^\zeta_n \end{pmatrix},$$

则有

$$v= (\mathcal{T} \eta _1 \; \mathcal{T}\eta _2 \;\cdots\; \mathcal{T}\eta _n) \begin{pmatrix} v^\zeta_1 \\ v^\zeta_2 \\ \vdots\\ v^\zeta_n \end{pmatrix}= (\eta _1 \; \eta _2 \;\cdots\; \eta _n)T^\eta \begin{pmatrix} v^\zeta_1 \\ v^\zeta_2 \\ \vdots\\ v^\zeta_n \end{pmatrix}．$$

对比系数可知

$$\begin{pmatrix} v^\eta_1 \\ v^\eta_2 \\ \vdots\\ v^\eta_n \end{pmatrix} =T^\eta \begin{pmatrix} v^\zeta_1 \\ v^\zeta_2 \\ \vdots\\ v^\zeta_n \end{pmatrix}.$$

于是我们得到了向量 $ v$ 在新基 $ \zeta$ 和旧基 $ \eta$ 下的坐标之间的关系

$$\begin{pmatrix} v^\zeta_1 \\ v^\zeta_2 \\ \vdots\\ v^\zeta_n \end{pmatrix} =(T^\eta)^{-1} \begin{pmatrix} v^\eta_1 \\ v^\eta_2 \\ \vdots\\ v^\eta_n \end{pmatrix},$$

它也被称为坐标变换公式．

注意下面的交换图．（交换图是指，只要图中两个复合映射起点和终点相同，它们就相等，本例中即为 $\mathrm{coor}^\zeta\circ\mathrm{id}=(T^\eta)^{-1}\circ\mathrm{coor}^\eta$．）

从线性空间本身来看，换基只是一次平凡的恒等变换．但从坐标空间的角度来看，坐标变换是非平凡的线性变换．

· 特征值与特征向量

给定一个线性变换 $ \mathcal{A} $，如果能够找到一个基 $ \zeta $，使得 $ \mathcal{A} $ 在 $ \zeta $ 下的矩阵表示 $ A^ \zeta $ 为对角阵 $ \Lambda $，即

$$A^\zeta = \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_{1}& &&\\ & \lambda_{2} &&\\ & &\ddots&\\ &&& \lambda_{n} \end{pmatrix} ,$$

那么就有

$$(\mathcal{A} \zeta_1 \; \mathcal{A} \zeta_2 \;\cdots\; \mathcal{A} \zeta_n) = (\zeta_1\; \zeta_2\;\cdots\; \zeta_n ) \begin{pmatrix} \lambda_{1}& &&\\ & \lambda_{2} &&\\ & &\ddots&\\ &&& \lambda_{n} \end{pmatrix} = (\lambda_{1} \zeta_1 \; \lambda_{2} \zeta_2 \;\cdots\; \lambda_{n} \zeta_n)．$$

即对角阵的 $n$ 个对角元 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$ 是线性变换 $\mathcal{A}$ 的特征值，而 $\zeta_1,\zeta_2,\cdots,\zeta_n$ 是其对应的特征向量．从几何上看，若以 $n$ 个特征值对应的特征向量作为基，线性变换对基向量的作用仅仅是简单的缩放．

为了计算一个具体的例子，让我们把目光再次转向选取了标准正交基 $ \epsilon $ 的欧式平面．我们知道，矩阵

$$A ^\epsilon = \begin{pmatrix} 1&2\\ -1&4 \end{pmatrix}$$

表示的线性变换把 $ \epsilon_1=(1,0)^T $ 映成 $ A^\epsilon \epsilon_1=(1,-1)^T $，$ \epsilon_2=(0,1)^T $ 映成 $ A ^\epsilon \epsilon_2=(2,4)^T $．

这个变换过程有点不太容易想象．但如果我们选取这样一个由特征向量构成的基 $ \zeta_1=(2,1)^T $ , $ \zeta_2=(1,1)^T $，并计算矩阵 $A^\epsilon$ 所表示的线性变换在基 $ \zeta_1,\zeta_2 $ 上的作用，我们会发现

$$A^\epsilon\zeta_1= \begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}=2\zeta_1,\quad A^\epsilon\zeta_2= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix} =3\zeta_2.$$

这说明，矩阵 $A^\epsilon$ 所表示的线性变换可以看成 $ \zeta_1,\zeta_2$ 方向上的一个缩放．