除非特殊说明，以下只考虑选取了标准正交基的欧式空间 $\mathbb{R}^n$ 及其对偶空间．张量采用黑体，标量则是标准罗马字体．

$\mathbb{R}^m$ 的元素为列向量 $\mathbf{a}^i=[a^1,a^2,\cdots,a^m]^T$，$(\mathbb{R}^n)^*$ 的元素为行向量 $ \mathbf{b}_j=[b_1,b_2,\cdots,b_n]$．$\mathbb{R}^m$ 的标准正交基表示为列向量 $ \boldsymbol{ \delta } ^1,\cdots \boldsymbol{ \delta } ^m $，其中 $ \boldsymbol{ \delta } ^i$ 的第 $i$ 个分量等于 $ 1 $，其余分量等于 $ 0 $ ．$(\mathbb{R}^n)^*$ 的标准正交基表示为行向量 $ \boldsymbol{ \delta }_1,\cdots, \boldsymbol{ \delta }_n $，其中 $ \boldsymbol{ \delta }_j$ 的第 $j$ 个分量等于 $ 1 $，其余分量等于 $ 0 $．

张量积

定义 $ (\mathbb{R}^n)^*\otimes \mathbb{R}^m $ 是以 $ \boldsymbol{ \delta }_j \otimes \boldsymbol{ \delta } ^i $ 为基的自由向量空间．容易验证，

$$\begin{align} \otimes : (\mathbb{R}^n)^*\times \mathbb{R}^m &\longrightarrow (\mathbb{R}^n)^*\otimes \mathbb{R}^m \\ \mathbf{b} _j \times \mathbf{a} ^i&\longmapsto \sum_{i}\sum_{j} b_j a^i \boldsymbol{ \delta } _j \otimes \boldsymbol{ \delta } ^i \end{align}$$

是双线性映射．即

$$\begin{align} (\lambda\mathbf{b}_j+ \mathbf{c}_j )\otimes \mathbf{a}^i&= \lambda\mathbf{b}_j\otimes \mathbf{a}^i +\mathbf{c}_j \otimes \mathbf{a}^i ,\quad&\forall \lambda\in\mathbb{R}, \mathbf{a}^i \in\mathbb{R}^m,\mathbf{b}_j , \mathbf{c}_j\in (\mathbb{R}^n)^* ,\\ \mathbf{b} _j \otimes (\lambda\mathbf{a} ^i + \mathbf{d} ^i ) &= \lambda \mathbf{b}_j\otimes \mathbf{a}^i + \mathbf{b}_j \otimes \mathbf{d}^i ,\quad&\forall \lambda\in\mathbb{R}, \mathbf{a}^i , \mathbf{d}^i \in\mathbb{R}^m,\mathbf{b}_j \in (\mathbb{R}^n)^* . \end{align}$$

根据同构 $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m )\cong \mathrm{M}_{m\times n}( \mathbb{R} )$，线性映射 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m ) $ 可由矩阵表示

$$\mathbf{A}^i {}_j= \begin{bmatrix} A^1 {}_1 & A^1 {} _2& \cdots & A^1 {}_n \\ A^2 {}_1 & A^2 {}_2& \cdots & A^2 {}_n \\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ A^m {}_1 & A^m {}_2& \cdots & A^m {}_n \end{bmatrix}.$$

可以验证，映射

$$\begin{align} \varphi: \mathrm{M}_{m\times n}( \mathbb{R} ) &\longrightarrow (\mathbb{R}^n)^*\otimes \mathbb{R}^m\\ \mathbf{A}^i {}_j&\longmapsto \sum_{i}\sum_{j}A^i {}_j \boldsymbol{ \delta } _j \otimes \boldsymbol{ \delta } ^i \end{align}$$

是线性同构．因此，我们有如下同构关系，

$$\mathrm{M}_{m\times n}( \mathbb{R} ) \cong \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m ) \cong (\mathbb{R}^n)^*\otimes \mathbb{R}^m,$$

并且可以将 $ (\mathbb{R}^n)^*\otimes \mathbb{R}^m $ 中的元素记成矩阵．一个简单的例子是

$$\begin{bmatrix} 1&2 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 3\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\times1&3 \times 2 \\ 4\times1&4 \times 2 \end{bmatrix} .$$

张量

设 $V=\mathbb{R}^n$．在微分几何中，常考虑的是一个向量空间 $V$ 及其对偶空间 $V^*$ 之间的张量积．张量积

的元素

$$\mathbf{A}^{i_1,\cdots,i_{r}} {}_{ j_1,\cdots,j_{s} } =\sum\limits_{i_1,\cdots,i_{r},\\ j_1,\cdots,j_{s} } A^{ i_1 \cdots i_{r}} {}_{ j_1 \cdots j_{s} } \boldsymbol{ \delta } ^{i_1} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{ \delta } ^{i_{r}} \otimes \boldsymbol{ \delta } _{j_1} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{ \delta } _{j_{s}}$$

称为 $(r,s)$ 型混合张量，或简称为 $(r,s)$ 张量．记

$$\boldsymbol{ \delta } ^ {i_1,\cdots,i_{r}} {}_{ j_1,\cdots,j_{s} }:= \boldsymbol{ \delta } ^{i_1} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{ \delta } ^{i_{r}} \otimes \boldsymbol{ \delta } _{j_1} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{ \delta } _{j_{s}} ,$$

则有

$$\mathbf{A}^{i_1,\cdots,i_{r}} {}_{ j_1,\cdots,j_{s} } =\sum\limits_{i_1,\cdots,i_{r},\\ j_1,\cdots,j_{s} } A^{ i_1 \cdots i_{r}} {}_{ j_1 \cdots j_{s} } \boldsymbol{ \delta } ^ {i_1\cdots i_{r}} {}_{ j_1\cdots j_{s} }$$

若引入指标缩略记号 $\alpha= (i_1,\cdots,i_{r})$，$\beta= (j_1,\cdots,j_{s})$，上式可进一步简化为

$$\mathbf{A}^{ \alpha } {}_{ \beta } =\sum\limits_{ \alpha , \beta } A^{ \alpha } {}_{ \beta } \boldsymbol{ \delta } ^ { \alpha } {}_{ \beta }．$$

张量的运算

张量有乘法和缩并两种运算．$(r_1,s_1)$ 张量与 $(r_2,s_2)$张量的乘法就是张量积

$$\begin{align} \otimes : V_{s_1}^{r_1} \times V_{s_2}^{r_2} &\longrightarrow V_{s_1+s_2}^{r_1+r_2} \\ \mathbf{A}^{ \alpha_1 } {}_{ \beta_1} \times \mathbf{B}^{ \alpha_2} {}_{ \beta_2} &\longmapsto \sum\limits_{ \alpha_1 , \beta_1, \alpha_2 , \beta_2} A^{ \alpha_1}{}_{ \beta_1 } B^{ \alpha_2} {}_{ \beta_2 }\boldsymbol{\delta }^{ \alpha_1 }{}_{ \beta_1} {}^{\alpha_ 2 } {}_{\beta_ 2 } \end{align}\ .$$

定义迹为如下映射，

$$\begin{align} \mathrm{Tr}: V^*\otimes V &\longrightarrow \mathbb{R}\\ \sum_{i,j} A^i {}_j \boldsymbol{ \delta } _j \otimes \boldsymbol{ \delta } ^i &\longmapsto \sum_{i}A^i {}_i \end{align}\ ,$$

容易验证它是一个线性映射．由此可定义缩并运算．设 $ 1\le p\le r$，$ 1\le q\le s$，$(r,s)$ 张量的缩并运算定义为

$$\begin{align} \mathrm{Tr_{pq}}: V_{s}^{r} &\longrightarrow V_{s-1}^{r-1} \\ \mathbf{A}^{i_1,\cdots,i_{r}} {}_{ j_1,\cdots,j_{s} }&\longmapsto \sum\limits_{i_1, \cdots, \widehat{i_p}, \cdots,i_{r},\\ j_1, \cdots ,\widehat{j_q}, \cdots,j_{s} } \mathrm{Tr} \left( \sum_{i_p,j_q} A^{ i_1 \cdots i_p \cdots i_{r}} {}_{ j_1 \cdots j_q \cdots j_{s} } \boldsymbol{ \delta } ^{ i_p }{}_{ j_q } \right) \boldsymbol{ \delta } ^ {i_1\cdots \widehat{i_p}\cdots i_{r}} {}_{ j_1 \cdots \widehat{j_q} \cdots j_{s} } \end{align},$$

其中带 ${}^\widehat{\hspace{0.8em}}$ 的指标已被删除．