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知识图谱

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色彩科学的研究表明，人类能感知到的所有颜色构成一个3维线性空间．只要选定一个基，我们就能将颜色编码成3维坐标．不同的编码方式，对应了不同的色彩空间．本文介绍了一些常见的色彩空间以及如何在色彩空间之间进行转换．

CIE RGB 色彩空间

定义

考虑一个离散化的光谱能量分布（Spectral Power Distribution，简称 SPD）空间，这里的光谱能量用辐照率衡量，波长范围取 $380nm-720nm$，波长梯度取 $0.1nm$．该空间是一个 $3401$ 维的线性空间 $\mathbb{R}^{3401}$．在一个固定的辐照率下，一个基为：$\mathbf{l}_{380.0}, \mathbf{l}_{380.1},\cdots, \mathbf{l}_{720.0}$．

设 $C$ 为人类色彩映射，它将 SPD 空间的光谱能量分布映射成色觉空间 $P$ 中的色彩．我们下面将说明：色觉空间是 $3$ 维线性空间，色彩映射

$$C:\mathbb{R}^{3401}\longrightarrow P$$

是一个线性映射．

首先，因为人类产生色觉的前提是视网膜收到光的刺激，所以 $C$ 一定是满射．然后，Grassmann 定律告诉我们，色觉空间的加法可以被这样良定义：

$$C(\mathbf{s}_1)+C(\mathbf{s}_2):=C\left(\overline{\mathbf{s}_1}+\overline{\mathbf{s}_2}\right),$$

其中 $\overline{\mathbf{s}_1},\overline{\mathbf{s}_2}\in\mathbb{R}^{3401}$ 为满足 $C(\overline{\mathbf{s}_1})=C(\mathbf{s}_1),C(\overline{\mathbf{s}_2})=C(\mathbf{s}_2)$ 的任意光谱能量分布．

进一步地，我们同样有良定义的数乘：对任意 $k>0$，对任意 $\overline{\mathbf{s}}\in\mathbb{R}^{3401}$，只要 $\overline{\mathbf{s}}$ 满足 $C(\overline{\mathbf{s}})=C(\mathbf{s})$，就有

$$k\,C(s):=C(k\hspace{1pt}\overline{\mathbf{s}}).$$

因此色觉空间 $P$ 是线性空间，$C$ 是线性映射．按照习惯，$C(\mathbf{s})$ 将简记为 $C\mathbf{s}$．

我们可以还定义色觉的减法：若存在 $\mathbf{s}_3$，使得 $C\mathbf{s}_1+C\mathbf{s}_3=C\mathbf{s}_2$，则定义

$$C\mathbf{s}_2-C\mathbf{s}_1:=C\mathbf{s}_3.$$

揭示色觉空间维数的是色匹配实验．实验结果表明：红 $\mathbf{v}_R=C\,\mathbf{l}_{700.0}$，绿 $\mathbf{v}_G=C\,\mathbf{l}_{546.1}$，蓝 $\mathbf{v}_B=C\,\mathbf{l}_{435.8}$ 是色觉空间的一个基．换言之，任何色彩都可以表示成红、绿、蓝的线性组合．同时，红、绿、蓝中的任一种颜色都无法表示成另两种颜色的线性组合．因此，色觉空间是一个 $3$ 维线性空间．

为了消除歧义，我们做出如下约定：色觉空间是唯一的，其中的元素就是人类能够感知到的颜色．色彩空间则有很多种，它们的集合都是 $\mathbb{R}^3$，不同之处在于它们配备的与色觉空间之间的双射．说得更简单一点，面对同样的一个点 $(x_1,x_2,x_3)$，不同的色彩空间会它把解释成不同的颜色．

如果我们为色觉空间 $P$ 选定前面所说的这个基 $\mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B$，那么相应地会诱导出一个一一对应的坐标映射

$$\mathrm{coor}_{RGB}:P\longrightarrow\mathbb{R}^3,$$

将色觉空间 $P$ 中的颜色映射成它在这个基下的坐标．配备了这个坐标映射的 $\mathbb{R}^3$ 就被称作 CIE RGB 色彩空间．

容易看出，色觉空间 $P$ 每选定一个基 $\eta$，与之对应的坐标空间 $\mathrm{coor}_{\mathbf{\eta}}(P)$ 就是一个色彩空间．因为坐标映射是一个线性同构，我们称这样得到的色彩空间为线性的．

坐标计算

有了基之后，我们就可以进行基于坐标的计算，把任意一个 SPD 产生的色彩用三个数进行表示．具体来说，任意 SPD $\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3401}$ 产生的色彩都可由 $\mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B$ 进行唯一的线性表示：

$$C\mathbf{s}=R\cdot \mathbf{v}_R+G\cdot \mathbf{v}_G+B\cdot \mathbf{v}_B.$$

即 $C\mathbf{s}$ 拥有坐标 $(R,G,B)$. 特别地，任意单频光谱 $\mathbf{l}_\lambda$ 产生的色彩都可由 $\mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B$ 进行唯一的线性表示

$$C\,\mathbf{l}_{\lambda} =( \mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B) \begin{pmatrix} R_{\lambda} \\ G_{\lambda} \\ B_{\lambda} \end{pmatrix}.$$

设 $C$ 在基 $\mathbf{l}_{380.0}, \mathbf{l}_{380.1},\cdots, \mathbf{l}_{720.0}$ 和基 $\mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B$ 下的矩阵表示为色匹配矩阵 $CMF^{RGB}$，则有

$$\begin{align} (C\,\mathbf{l}_{700.0},C\,\mathbf{l}_{700.1},\cdots,C\,\mathbf{l}_{720.0})&=\left(\mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B\right)\,CMF^{RGB}\\ &=\left(\mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B\right) \begin{pmatrix} R_{380.0} & R_{380.1}& \cdots & R_{720.0} \\ G_{380.0} & G_{380.1}& \cdots & G_{720.0} \\ B_{380.0} & B_{380.1}& \cdots & B_{720.0} \\ \end{pmatrix}. \end{align}$$

下图即为实验确定的 CIE RGB 空间的色匹配矩阵 $CMF^{RGB}$．图中横坐标为 $\lambda$ 时，红绿蓝曲线的纵坐标分别为 $R_{\lambda},G_{\lambda},B_{\lambda}$．

图1 - CIE 1931 RGB 色匹配函数

如果知道了色匹配矩阵 $CMF$，我们就能计算出任意 SPD 在色彩空间 CIE RGB 中的坐标．任给 SPD

$$\mathbf{s}=\left(\mathbf{l}_{380.0}, \mathbf{l}_{380.1},\cdots, \mathbf{l}_{720.0}\right) \begin{pmatrix} k_{380.0} \\ k_{380.1} \\ \vdots \\ k_{720.0} \\ \end{pmatrix},$$

我们有如下计算公式

$$C\mathbf{s}=\left(\mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B\right) \begin{pmatrix} R_{380.0} & R_{380.1}& \cdots & R_{720.0} \\ G_{380.0} & G_{380.1}& \cdots & G_{720.0} \\ B_{380.0} & B_{380.1}& \cdots & B_{720.0} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_{380.0} \\ k_{380.1} \\ \vdots \\ k_{720.0} \\ \end{pmatrix}$$

记 $\mathbf{k}=(k_{380.0},k_{380.1},\cdots,k_{720.0})^T$，并将 $CMF^{RGB}$ 按行分块

$$CMF= \begin{pmatrix} CMF^{RGB}_1 \\ CMF^{RGB}_2 \\ CMF^{RGB}_3 \end{pmatrix},$$

计算公式可以重写为

$$C\mathbf{s}=\left(\mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B\right) \begin{pmatrix} CMF^{RGB}_1\,\mathbf{k}\\ CMF^{RGB}_2\,\mathbf{k}\\ CMF^{RGB}_3\,\mathbf{k} \end{pmatrix}.$$

CIE rg 色度空间

色彩空间 CIE RGB 中任意一点可由三个坐标 $(R,G,B)$ 确定．映射

$$\begin{align} r&=\frac{R}{R+G+B},\\ g&=\frac{G}{R+G+B},\\ b&=\frac{B}{R+G+B}=1-r-g. \end{align}$$

将三维的色彩空间 CIE RGB 压缩成二维的平面．下图是展示了 $(r,g)$ 构成的空间，被称作 CIE rg 色度空间．

图2 - CIE rg 色度空间

不难发现，CIE RGB 色彩空间中的任意一条直线 $t(\hat{R},\hat{G},\hat{B})$，在映射 $(R,G,B)\mapsto (r,g)$ 的作用下，都被压缩成 CIE rg 色度空间中的一个点 $\left(\frac{\hat{R}}{\hat{R}+\hat{G}+\hat{B}},\frac{\hat{G}}{\hat{R}+\hat{G}+\hat{B}}\right)$．因此，由 $(r,g)$ 表示的色度是一种与辐照度无关的属性．在这张图上，每个点具有不同的色度，但它们的辐照度完全可以被设定为相同值．

CIE XYZ 色彩空间

定义

在使用由基 $\mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B$ 导出的色彩空间 CIE RGB 时，有些色彩的坐标会出现负值，这在计算时不太方便．因此，我们为色觉空间更换一个更利于计算的基 $\mathbf{v}_X,\mathbf{v}_Y,\mathbf{v}_Z$，由此得到色彩空间 CIE XYZ．

设换基的转移矩阵为 $T$，我们有

$$( \mathbf{v}_X,\mathbf{v}_Y,\mathbf{v}_Z)=(\mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B)T,$$

或

$$( \mathbf{v}_X,\mathbf{v}_Y,\mathbf{v}_Z)T^{-1}=(\mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B),$$

因为

$$\begin{align} (C\,\mathbf{l}_{700.0},C\,\mathbf{l}_{700.1},\cdots,C\,\mathbf{l}_{720.0})&=\left(\mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B\right)\,CMF^{RGB}\\ &=( \mathbf{v}_X,\mathbf{v}_Y,\mathbf{v}_Z)T^{-1}CMF^{RGB}\\ &=( \mathbf{v}_X,\mathbf{v}_Y,\mathbf{v}_Z)CMF^{XYZ}, \end{align}$$

所以色彩空间 CIE XYZ 的色匹配矩阵 $CMF^{XYZ}=T^{-1}CMF^{RGB}$. 在精心选取 $T$ 后，得到的 $CMF^{XYZ}$ 如下图所示．

图3 - CIE 1931 XYZ 色匹配函数

从图中可以看出，色匹配矩阵 $CMF^{XYZ}$ 的每一项都是非负的．也就是说，在色彩空间 CIE XYZ 中，单频光谱产生的色彩 $C\,\mathbf{l}_{\lambda}$ 始终具有非负的坐标 $(X_{\lambda} , Y_{\lambda}, Z_{\lambda})$．

亮度的表示

除了坐标分量非负，色彩空间 CIE XYZ 在表示亮度时也有着明显的优势．亮度（luminance）描述人对光明亮程度的主观感受，它与描述光的客观物理量辐照率 $SPD(\lambda)$ 有如下关系

$$\text{luminance}=\int_\lambda V(\lambda)SPD(\lambda)d\lambda=\sum_{i=1}^{3401}V(\lambda_i)k_{\lambda_i},\quad\lambda_i=380.0+0.1*(i-1),$$

其中 $\lambda$ 为波长，$V(\lambda)$ 为光度函数，$SPD(\lambda)$ 为光谱能量分布．下图画出了实验测得的 $V(\lambda)$．

图4 - 光度函数

从图中可以看出，人对绿光最敏感．在辐照率相同时，绿光最亮．

事实上，色彩空间 CIE XYZ 的 $Y$ 坐标可直接当作亮度．因为

$$C\mathbf{s}=\left(\mathbf{v}_R,\mathbf{v}_G,\mathbf{v}_B\right)CMF^{RGB}\,\mathbf{k}=(\mathbf{v}_X,\mathbf{v}_Y,\mathbf{v}_Z)CMF^{XYZ}\,\mathbf{k}.$$

设 $C\mathbf{s}$ 在基 $( \mathbf{v}_X,\mathbf{v}_Y,\mathbf{v}_Z)$ 下的坐标表示为

$$C\mathbf{s}=( \mathbf{v}_X,\mathbf{v}_Y,\mathbf{v}_Z) \begin{pmatrix} X \\ Y\\ Z \end{pmatrix},$$

则有

$$\begin{pmatrix} X \\ Y\\ Z \end{pmatrix} =CMF^{XYZ}\,\mathbf{k}.$$

设 $CMF^{XYZ}$ 的第 $2$ 行第 $j$ 列的元素为 $Y_{\lambda_j}$, 我们有

$$Y=\sum_{j=1}^{3401}Y_{\lambda_j}\hspace{1pt}k_{\lambda_{j}}$$

因为 $CMF^{XYZ}$ 中的绿色曲线与 $V(\lambda)$ 曲线非常相近，可以近似认为 $Y_{\lambda_j}=V(\lambda_j)$，故 $Y$ 可直接当作亮度．

xyY 空间与色度图

对 CIE XYZ 空间做非线性变换

$$\begin{align} x&=\frac{X}{X+Y+Z},\\ y&=\frac{Y}{X+Y+Z},\\ z&=Y, \end{align}$$

就得到了一个非线性的色彩空间：xyY空间．$x,y$ 表示色度，$z表示明度$．下图是一张等明度色度图，它包含了人类能看到的所有色度．

图5 - CIE 1931 xy 色度图

sRGB 色彩空间

从 CIE XYZ 空间到 sRGB 空间需要经过两步．第一步是换基，将 CIE XYZ 空间变为线性 sRGB 空间．第二步是 Gamma 变换，将线性 sRGB 空间变成最终的 sRGB 空间．

标准光源

标准光源 CIE Standard Illuminant D65 是一个相对 SPD，与辐照度无关．一方面，它在 CIE XYZ 空间中为一条直线 $k(0.95047,1,1.08883)$，直线上 $Y=1$ 的点 $(0.95047,1,1.08883)$ 称为白点．另一方面，它在CIE xy 色度图中为一个点 $(0.31271,0.32902)$．

线性 sRGB 空间

设色觉空间 $P$ 的一个基 $(\mathbf{c}_R,\mathbf{c}_G,\mathbf{c}_B)$ 导出了线性 sRGB 空间． 基 $(\mathbf{c}_R,\mathbf{c}_G,\mathbf{c}_B)$ 是由下列条件唯一确定的：

1. 三原色（primaries）：$\mathbf{c}_R,\mathbf{c}_G,\mathbf{c}_B$ 的 CIE xy 色度分别为 $(0.64,0.33),(0.30,0.60),(0.15,0.06)$，即

   $$(\mathbf{c}_R,\mathbf{c}_G,\mathbf{c}_B)=(\mathbf{v}_X,\mathbf{v}_Y,\mathbf{v}_Z) \begin{pmatrix} 0.64w_1&0.30w_2&0.15w_3\\ 0.33w_1&0.60w_2&0.06w_3\\ 0.03w_1&0.10w_2&0.79w_3 \end{pmatrix}.$$

2. 白点：CIE XYZ 空间中的白点 $(0.95047,1,1.08883)$ 被映到 sRGB 空间中的 $(1,1,1)$，即

   $$(\mathbf{v}_X,\mathbf{v}_Y,\mathbf{v}_Z) \begin{pmatrix} 0.95047\\ 1\\ 1.08883 \end{pmatrix} = (\mathbf{c}_R,\mathbf{c}_G,\mathbf{c}_B) \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}.$$

联立两个条件得到

$$\begin{pmatrix} 0.64&0.30&0.15\\ 0.33&0.60&0.06\\ 0.03&0.10&0.79 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1\\ w_2\\ w_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.95047\\ 1\\ 1.08883 \end{pmatrix}.$$

解出

$$\begin{pmatrix} w_1\\ w_2\\ w_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.644463\\ 1.19192\\ 1.20292 \end{pmatrix}.$$

由此可求出 CIE XYZ 空间到线性 sRGB 空间的坐标变换公式

$$\begin{pmatrix} R_{\text {linear }} \\ G_{\text {linear }} \\ B_{\text {linear }} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} +3.24096994 & -1.53738318 & -0.49861076 \\ -0.96924364 & +1.8759675 & +0.04155506 \\ +0.05563008 & -0.20397696 & +1.05697151 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X\\ Y \\ Z \end{pmatrix}$$

Gamma 变换

定义 Gamma 变换为

$$\gamma(u)=\left\{\begin{array}{lll} 12.92 u & =\frac{323 u}{25} & u \leq 0.0031308 \\ 1.055 u^{1 / 2.4}-0.055 & =\frac{211 u^{\frac{5}{12}}-11}{200} & \text { otherwise } \end{array}\right.$$

它将线性 sRGB 空间中的坐标映成 sRGB 空间中的坐标，即

$$\begin{pmatrix} R_{sRGB} \\ G_{sRGB} \\ B_{sRGB} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \gamma(R_{\text {linear }})\\ \gamma(G_{\text {linear }})\\ \gamma(B_{\text {linear }}) \end{pmatrix}.$$

此外，如果有坐标分量值超出了 $1$，那么该分量会被钳制到 $1$．因为钳制的存在，从 CIE XYZ 空间到 sRGB 空间的映射并不是单射．因此，sRGB 空间能够表示的颜色是 CIE XYZ 空间的一个子集．下面展示了sRGB空间的色度图．

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扩展阅读：ACES(Academy Color Encoding System)