双向反射分布函数

考虑一张反射平面，在点 $\mathbf{p}$ 处来自入射光的辐照度可以表示成

$$E_i(\mathbf{p})=\int_{H^2} L_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i)\cos\theta_i\:d\Omega_i,$$

其中 $d\Omega_i=\sin\theta_i\: d\theta_i\:d\phi_i$．上式的直观理解是：将遍布半球的入射光分割成来自很多个小圆锥的入射光，其中 $\boldsymbol{\omega}_i$ 方向上的小圆锥贡献的辐照度为 $L_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i)\cos\theta_i\:d\Omega_i$．将所有小圆锥贡献的辐照度加起来，就得到了来自入射光的总的辐照度 $E_i(\mathbf{p})$.

上式有时也写作微分形式

$$dE_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i)=L_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i)\cos\theta_i\:d\Omega_i.$$

如果我们要考虑点 $\mathbf{p}$ 处沿 $\boldsymbol{\omega}_o$ 方向出射光的辐射率 $L_o(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_o)$，上述分割求和的思想依然可以沿用．假设 $\boldsymbol{\omega}_i$ 方向上的小圆锥每增加 $1$ 个单位的辐照度，就能为 $\boldsymbol{\omega}_o$ 方向的出射光多贡献 $f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)$ 单位的辐射率，那么 $\boldsymbol{\omega}_i$ 方向上的小圆锥对 $L_o(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_o)$ 的贡献就是

$$f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)dE_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i)=f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)L_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i)\cos\theta_i\:d\Omega_i.$$

将所有小圆锥的贡献累加起来，就得到 $L_o(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_o)$ 的表达式

$$L_o(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_o)=\int_{H^2}f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)dE_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i)=\int_{H^2}f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)L_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i)\cos\theta_i\:d\Omega_i.$$

上式也可写作对应的微分形式

$$dL_o(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_o,\boldsymbol{\omega}_i)=f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)dE_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i),$$

或

$$f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)=\frac{dL_o(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_o,\boldsymbol{\omega}_i)}{dE_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i)}.$$

以上导出的函数 $f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)$，被称作 双向反射分布函数（bidirectional reflectance distribution function），简称为BRDF．上面推导出的方程

$$L_o(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_o)=\int_{H^2}f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)L_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i)\cos\theta_i\:d\Omega_i.$$

被称作 反射方程．

性质

基于物理的BRDF应该具有以下三条性质：

1. 非负性：$f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)\ge 0$；
2. Helmholtz互异性（Helmholtz reciprocity）：$f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)=f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_i, \boldsymbol{\omega}_o\right)$；
3. 能量守恒： $$\forall\boldsymbol{\omega}_i,\quad\int_{H^2} f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)\cos\theta_o\:d\Omega_o\le 1.$$

计算

处理积分

$$L_o(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_o)=\int_{H^2}f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)L_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i)\cos\theta_i\:d\Omega_i.$$

的常见方式有三种：

1. 单位半球上的第一类曲面积分，用球坐标进行参数化

   $$L_o(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_o)=\int_{0}^{2\pi}\:d\varphi_i\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i(\theta_i,\varphi_i)\right)L_{i}(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i(\theta_i,\varphi_i))\cos\theta_i\sin\theta_i\:d\theta_i.$$

2. 转化为发光曲面 $A$ 上的积分

   $$L_o(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_o)=\int_{A} f_{\mathrm{r}}\left(\mathbf{p}, \boldsymbol{\omega}_o, \boldsymbol{\omega}_i\right)L_i(\mathbf{p},\boldsymbol{\omega}_i) \cos \theta_{i} \frac{\cos \theta^\prime \mathrm{d} A}{r^{2}},$$

其中 $\theta^\prime$ 是 $A$ 上某点处的法向量与 $-\boldsymbol{\omega}_i$ 之间的夹角．

实例：UE4 采用的 BRDF

UE4 引擎使用了如下 BRDF

$$f_{r}\left(\omega_{i}, \omega_{o}\right)=k_{d} f_{\text {lambert}}+f_{s}$$

其中

$$\begin{array}{l} f_{\text {lambert}}=\dfrac{\text{base_color}}{\pi} \\ f_{s}=\dfrac{F\left(\mathbf{h}, \boldsymbol{\omega}_o\right) G(\boldsymbol{\omega}_i, \boldsymbol{\omega}_o) D(\mathbf{h})}{4(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\omega}_o)(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\omega}_i)} \\ k_{s}=F\left(\mathbf{h}, \boldsymbol{\omega}_o\right) \\ k_{d}=\left(1-k_{s}\right)(1-\text {metalness}). \end{array}$$

上式中，$\mathbf{n}$ 为单位法向量，$\boldsymbol{\omega}_i$ 为单位入射向量，$\boldsymbol{\omega}_o$ 为单位反射向量，$\mathbf{h}=(\boldsymbol{\omega}_i+\boldsymbol{\omega}_o)/\Vert\boldsymbol{\omega}_i+\boldsymbol{\omega}_o\Vert$ 为微平面单位法向量．下面描述函数 $F,D,G$ 的具体形式．

法线分布函数 $D$

GGX（Trowbridge-Reitz）分布

$$\begin{aligned} \alpha&=\text {roughness}^{2}\\ D(\mathbf{h})&=\dfrac{\alpha^{2}}{\pi\left((\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^{2}\left(\alpha^{2}-1\right)+1\right)^{2}}. \end{aligned}$$

一般地，设 $\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}=\cos\theta_{\mathbf{h}}$，法线分布 $D(\mathbf{h})$ 应满足

$$\int_{H^2_{\mathbf{n}}}D(\mathbf{h})\cos\theta_{\mathbf{h}} \:d\Omega_{\mathbf{h}}=1,$$

其中 $H^2_{\mathbf{n}}$ 表示底部大圆与 $\mathbf{n}$ 垂直的上半球面．可以验证 GGX 法线分布函数满足该关系

$$\begin{aligned} \int_{\mathcal{H}^{2}} \cos \theta_{\mathbf{h}} D\left(\mathbf{h}\right) \mathrm{d} \mathbf{h} &=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \varphi_{\mathbf{h}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\alpha^{2} \cos \theta_{\mathbf{h}} \sin \theta_{\mathbf{h}} }{\pi\left(\left(\alpha^{2}-1\right) \cos ^{2} \theta_{\mathbf{h}} +1\right)^{2}} d\theta_{\mathbf{h}}\\ &=2\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \alpha^{2} \cos \theta_{\mathbf{h}} \sin \theta_{\mathbf{h}} }{\pi\left(\left(\alpha^{2}-1\right) \cos ^{2} \theta_{\mathbf{h}} +1\right)^{2}} d\theta_{\mathbf{h}} \\ &=-\alpha^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\left(\left(\alpha^{2}-1\right) \cos ^{2} \theta_{\mathbf{h}} +1\right)^{2}} d\cos ^{2} \theta_{\mathbf{h}} \\ &=\alpha^{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{\left(\left(\alpha^{2}-1\right) t+1\right)^{2}} dt \\ &=\left.\frac{\alpha^{2}}{1-\alpha^{2}} \frac{1}{\left(\alpha^{2}-1\right) t+1}\right|_{0} ^{1} \\ &=1. \end{aligned}$$

几何函数 $G$

GGX-Smith Correlated Joint 近似公式

$$\begin{aligned} \alpha&=\text {roughness}^{2} \\ \Lambda(\boldsymbol{\omega}_o)&=(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\omega}_i)((\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\omega}_o)(1-\alpha)+\alpha) \\ \Lambda(\boldsymbol{\omega}_i)&=(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\omega}_o)((\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\omega}_i)(1-\alpha)+\alpha) \\ G(\boldsymbol{\omega}_i, \boldsymbol{\omega}_o)&=\frac{2(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\omega}_o)(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\omega}_i)}{\Lambda(\boldsymbol{\omega}_o)+\Lambda(\boldsymbol{\omega}_i)} \end{aligned}$$

菲涅尔项 $F$

Fresnel-Schlick 近似公式

$$\begin{aligned} F\left(\mathbf{h}, \boldsymbol{\omega}_o\right)&=F_{0}+\left(1-F_{0}\right)(1-(\mathbf{h} \cdot \boldsymbol{\omega}_o))^{5} \\ F_{0}&=\operatorname{lerp}(0.16\:\text{specular}^2, \text{base_color}, \text{metalness}) \end{aligned}$$

其中 $\operatorname{lerp}(a,b,t)=(1-t)a+tb$ 为线性插值函数．