流形的基本概念

拓扑流形

定义

$n$ 维 拓扑流形 是局部同胚于 $n$ 维欧式空间的 Hausdorff 拓扑空间．

所谓“局部同胚于 $n$ 维欧式空间”，就是说任取拓扑空间 $M$ 中一点 $p$，存在 $p$ 的一个邻域 $N(p)$，使得 $N(p)$ 与欧式空间 $\mathbb{R}^n$ 同胚．

坐标卡

如果 $U_\alpha$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个开集，

$$\mathbf{x}_\alpha:U_\alpha\to \mathbf{x}_\alpha (U_\alpha)\subset M$$

是一个同胚映射，并且 $\mathbf{x}_\alpha (U_\alpha)$ 包含点 $p$，那么二元组 $(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha)$ 称作拓扑流形 $M$ 在点 $p$ 处的一个 坐标卡（coordinate chart）或者（局部）坐标系．

给定一个坐标卡，$\mathbf{x}^{-1}_{\alpha}$ 常常被称作点 $p$ 处的局部坐标映射，而点 $p$ 在 $\mathbf{x}^{-1}_{\alpha}$ 下的像 $\mathbf{x}^{-1}_\alpha(p)$ 就叫做点 $p$ 的局部坐标．坐标卡可以把拓扑流形的局部转换成我们熟悉的 $\mathbb{R}^n$ 中的坐标，因此有时也被称作参数化．

拓扑流形 $M$ 在其中任意一点 $p$ 处都至少存在一个坐标卡．事实上，设 $\eta$ 是一个由 $N(p)$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的同胚映射．根据邻域的定义， $M$ 中存在一个开集 $W$，满足 $p\in W\subset N(p)$．因此，如果将 $\eta$ 限制到 $W$ 上，然后令 $\mathbf{x}=(\left.\eta\right|_{W})^{-1}$，那么

$$\mathbf{x}:U\to \mathbf{x}(U)$$

也是一个同胚映射．因此，$(U,\mathbf{x})$ 就是点 $p$ 处的一个坐标卡．

图册

若 $\Sigma=\{(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha)\}_{\alpha\in A}$ 是拓扑流形 $M$ 的一个坐标卡集，并且 $\{\mathbf{x}_\alpha(U_\alpha)\}_{\alpha\in A}$ 是 $M$ 的一个覆盖，则称 $\Sigma$ 是 $M$ 的一个 图册（atlas）．

拓扑流形 $M$ 可以看作是由许多欧式空间的开子集 $U_\alpha(\alpha\in A)$ 粘合而得到的拓扑空间．

给定拓扑流形 $M$ 的一个图册 $\Sigma=\{(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha)\}_{\alpha\in A}$，图册中有些坐标卡覆盖的区域可能发生重叠．换言之，$M$ 中的有些点可能会被多个坐标卡覆盖．设 $(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha)$ 和 $(U_\beta,\mathbf{x}_\beta)$ 覆盖的区域发生了重叠，即

$$\mathbf{x}_\alpha(U_\alpha)\cap \mathbf{x}_\beta(U_\beta)\ne\varnothing,$$

我们可以定义 转移函数

$$\mathbf{x}^{-1}_\beta\circ \mathbf{x}_{\alpha}: \mathbf{x}^{-1}_\alpha(\mathbf{x}_\alpha(U_\alpha)\cap \mathbf{x}_\beta(U_\beta)) \longrightarrow \mathbf{x}^{-1}_\beta(\mathbf{x}_\alpha(U_\alpha)\cap \mathbf{x}_\beta(U_\beta))$$

和

$$\mathbf{x}^{-1}_{\alpha}\circ \mathbf{x}_\beta: \mathbf{x}^{-1}_\beta(\mathbf{x}_\alpha(U_\alpha)\cap \mathbf{x}_\beta(U_\beta))\longrightarrow \mathbf{x}^{-1}_\alpha(\mathbf{x}_\alpha(U_\alpha)\cap \mathbf{x}_\beta(U_\beta)).$$

因为同胚映射的复合依然是同胚映射，上述两个转移函数都是同胚映射．前面曾经提到过， $M$ 中某点 $p$ 可能会被多个坐标卡覆盖．也就是说，点 $p$ 可能会有多个局部坐标．借助转移函数，我们可以在点 $p$ 的多个局部坐标间进行切换．

微分流形

动机：定义可微函数

拓扑流形是一种局部“很像”欧式空间的拓扑空间．这里的“很像”，指的是拓扑结构一致．对于拓扑流形，我们在局部上拥有欧式拓扑，因此可以借用处理欧式拓扑的技术处理拓扑流形．但是，欧式空间上还存在比拓扑结构更加精细的结构，比如，我们可以在欧式空间上定义可微函数并求微分．如果一个拓扑流形在局部上继承了这种更精细的结构，那么类似地，我们也可以在拓扑流形上定义可微函数并微分．下面，我们将给出这种更精细结构的形式化定义．

设 $M$ 是一个 $n$ 维拓扑流形，$\Sigma=\{(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha)\}_{\alpha\in A}$ 是 $M$ 的一个图册．我们的目标是在拓扑流形上正确地定义可微函数 $f:M\to \mathbb{R}^m$．一个自然的想法是，在局部用坐标卡 $(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha)$ 将定义域从 $M$ 的子集拉回到 $U_\alpha\subset\mathbb{R}^n$ 上．具体来说，我们可以尝试这样规定：函数 $f:M\to \mathbb{R}^m$ 在点 $p$ 处是可微的，当且仅当对任意覆盖了点 $p$ 的坐标卡 $(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha)$，复合函数

$$f\circ \mathbf{x}_\alpha:U_\alpha\longrightarrow \mathbb{R}^m$$

在点 $\mathbf{x}^{-1}_\alpha(p)$ 处是可微的．

相容图册

这样定义在理论上行得通，但是在实际中却比较麻烦．因为如果要证明 $f$ 在点 $p$ 处的可微性，我们要对所有覆盖了点 $p$ 的坐标卡进行验证．其实，如果我们只考虑所谓的相容图册，情况将大大简化．此时，我们只需要对一个覆盖了点 $p$ 的坐标卡进行验证即可．

两个坐标卡 $(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha),(U_\beta,\mathbf{x}_\beta)$ 被称作是 相容 的，如果

$$U_\alpha\cap U_\beta\ne\varnothing\implies\mathbf{x}^{-1}_\beta\circ \mathbf{x}_{\alpha},\mathbf{x}^{-1}_{\alpha}\circ \mathbf{x}_\beta \text{是可微函数}.$$

如果一个图册中任意两个坐标卡都是相容的，则该图册被称作 相容图册．设 $(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha),(U_\beta,\mathbf{x}_\beta)$ 是覆盖点 $p$ 的两个坐标卡，注意到

$$\begin{aligned} f\circ \mathbf{x}_\beta &= (f\circ \mathbf{x}_\alpha)\circ(\mathbf{x}^{-1}_\alpha\circ \mathbf{x}_{\beta}),\\ f\circ \mathbf{x}_\alpha &= (f\circ \mathbf{x}_\beta)\circ(\mathbf{x}^{-1}_\beta\circ \mathbf{x}_{\alpha}), \end{aligned}$$

我们有 $f\circ \mathbf{x}_\beta$ 可微当且仅当 $f\circ \mathbf{x}_\alpha$ 可微．因此，如果给定的图册是相容的，我们对可微函数的定义就可以写成：函数 $f:M\to \mathbb{R}^m$ 在点 $p$ 处是可微的，当且仅当存在一个覆盖了点 $p$ 的坐标卡 $(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha)$，使得复合函数

$$f\circ \mathbf{x}_\alpha:U_\alpha\longrightarrow \mathbb{R}^m$$

在点 $\mathbf{x}^{-1}_\alpha(p)$ 处是可微的．

微分结构与微分流形

相容图册可以做极大化．设 $\Sigma=\{(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha)\}_{\alpha\in A}$ 是拓扑流形 $(M,\tau)$ 的一个相容图册，则

$$\Sigma_{\max}=\{(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha)|(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha) \text{是 $M$ 的坐标卡，且与 $\Sigma$ 中的每一个坐标卡相容}\}$$

被称作 $\Sigma$ 的 极大化图册．拓扑流形 $(M,\tau)$ 上的一个极大化相容图册 $\Sigma_{\max}$，被称作 $(M,\tau)$ 的一种 微分结构．配备了微分结构的拓扑流形，就叫作 微分流形，记作三元组 $(M,\tau,\Sigma_{\max})$．如果没有特别声明，今后当我们谈论微分流形的坐标卡时，总是默认该坐标卡取自微分流形自带的图册．

如果我们将可微用 $C^r$ 可微或者光滑代替，可以类似地定义 $C^r$ 相容图册与光滑相容图册、$C^r$ 微分结构与光滑结构、$C^r$ 微分流形与光滑流形．今后我们将主要讨论光滑流形，但相关概念完全可以平行移植到微分流形与 $C^r$ 微分流形上．

光滑映射

定义

我们定义光滑（可微）流形的动机之一，就是为了定义光滑（可微）函数．设 $(M,\tau,\Sigma)$ 是一个光滑流形，函数 $f:M\to \mathbb{R}^n$ 在点 $p$ 处是 光滑 的，当且仅当存在一个覆盖了点 $p$ 的坐标卡 $(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha)\in\Sigma$，使得复合函数

$$f\circ \mathbf{x}_\alpha:U_\alpha\longrightarrow \mathbb{R}^m$$

在点 $\mathbf{x}^{-1}_\alpha(p)$ 处是光滑的．

进一步，我们还可以在光滑流形 $(M_1,\tau_1,\Sigma_1), (M_2,\tau_2,\Sigma_2)$ 之间定义光滑映射．为了定义映射 $f:M_1\to M_2$ 在点 $p$ 处的光滑性，除了要将定义域从 $M_1$ 的子集拉回到 $U_\alpha\subset\mathbb{R}^n$, 还要将到达域从 $M_2$ 推前到 $V_\beta\subset\mathbb{R}^m$．

映射 $f:M_1\to M_2$ 在点 $p$ 处是 光滑映射，如果存在一个覆盖了点 $p$ 的坐标卡 $(U_\alpha,\mathbf{x}_\alpha)\in\Sigma_1$ 和一个覆盖了点 $f(p)$ 的坐标卡 $(V_\beta,\mathbf{y}_\beta)\in\Sigma_2$，使得复合映射

$$\mathbf{y}^{-1}_\beta \circ f\circ \mathbf{x}_\alpha:U_\alpha\longrightarrow V_\beta$$

在点 $\mathbf{x}^{-1}_\alpha(p)$ 处是光滑的．

注意到

$$f = \mathbf{y}_\beta\circ(\mathbf{y}^{-1}_\beta \circ f\circ \mathbf{x}_\alpha)\circ\mathbf{x}^{\hspace{2pt}-1}_\alpha$$

我们有 $f$ 在点 $p$ 处光滑蕴涵 $f$ 在点 $p$ 处连续．

又注意到

$$\tilde{\mathbf{y}}^{-1}_\beta \circ f\circ \tilde{\mathbf{x}}_\alpha=(\tilde{\mathbf{y}}^{-1}_\beta\circ\mathbf{y}_\beta) \circ(\mathbf{y}^{-1}_\beta \circ f\circ \mathbf{x}_\alpha)\circ(\mathbf{x}^{-1}_\alpha\circ \tilde{\mathbf{x}}_\alpha),$$

可知 $f:M_1\to M_2$ 在点 $p$ 处的光滑性不依赖于坐标卡的选取．

如果映射 $f:M_1\to M_2$ 在开集 $U\subset M_1$ 的每一点都是光滑的，则称 $f$ 在 $U$ 上光滑．如果 $f$ 在 $M_1$ 的每一点都是光滑的，则称 $f:M_1\to M_2$ 是光滑映射．

现在，我们已经定义好了光滑映射，但是我们定义光滑（可微）流形还有另一个一个动机————求微分．如果还是按照定义光滑映射的思路，用坐标卡把光滑映射转化成 $U_\alpha\in\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的光滑函数，我们会发现，随着我们选取不同的坐标卡，我们会得到不同的光滑函数，自然也会求出不同的微分．一个最简单的例子就是一元实值光滑函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$．如果在点 $p$ 处选取不同的坐标卡 $(U_\alpha,x_\alpha),(V_\beta,y_\beta)$，微分

$$d(y^{-1}_\beta \circ f\circ x_\alpha)|_p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$

必然会不同．但是，这些不同的微分不可能毫无关联，因为它们之间差的只是转移函数的微分．类似的情形也发生在线性代数中．随着我们选取不同的基，一个线性变换会诱导出从坐标空间 $\mathbb{R}^n$ 到坐标空间 $\mathbb{R}^m$ 的不同变换．这些变换之间差的只是基变换．因此我们可以设想，光滑映射真正的“微分”，可能也是存在于一般的线性空间之间的线性映射．只有选取了特定的坐标卡，才会得到欧式空间 $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{R}^m$ 之间的线性映射．实际上，这里所谓的“一般的线性空间”，就是我们即将要定义的切空间．

切向量与切空间

第一种定义：曲线的等价类

考虑一个直观的例子，$\mathbb{R}^3$ 中的 $2$ 维光滑曲面．过曲面上任何一点 $p$，我们都可以作出一个切平面，而起点位于点 $p$ 、终点位于切平面内任一点的向量就是切向量．因此，该曲面在点 $p$ 处的切平面可以看成是由切向量组成的线性空间 $\mathbb{R}^2$．

对于任何一个切向量，他都可以看成是曲面上一条经过点 $p$ 的光滑曲线 $\gamma$ 在点 $p$ 处的切向量．如果曲线 $\gamma$ 的参数方程为 $\gamma(t)=(x(t),y(t),z(t))$，且满足 $\gamma(t_0)=p$，那么它在 $p$ 点处的导数

$$\gamma'(t_0)=\left(\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t_0},\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t_0}, \left.\frac{dz}{dt}\right|_{t_0}\right)$$

就是它在该点的一个切向量．假设曲面上有另一条过点 $p$ 的曲线 $\theta$．如果 $\theta$ 和 $\gamma$ 在点 $p$ 处的导数相等，即 $\theta’(t_0)=\gamma’(t_0)$，那么这两条曲线其实对应的是同一个切向量．因此，一个切向量也可以看成是一个曲线的等价类，类中的所有曲线在点 $p$ 处拥有相同的导数．如果我们能将曲线和曲线导数的概念推广到一般的光滑流形上，我们就能用同样的方式为光滑流形定义切向量和切空间．

给定 $n$ 维光滑流形 $(M,\tau,\Sigma)$ 和其上一点 $p$．如果光滑映射 $\gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to M$ 满足 $\gamma(0)=p$，则称 $\gamma$ 是 $M$ 上一条过点 $p$ 的 光滑曲线．如果想对曲线“求导”，必须先进行参数化，也就是选定一个点 $p$ 处的坐标卡 $(U,\mathbf{x})\in\Sigma$，然后对复合函数

$$\mathbf{x}^{-1} \circ \gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to \mathbb{R}^n$$

进行求导．求导的结果即为 $\left.\frac{d(\mathbf{x} \circ \gamma)}{dt}\right|_0$．如果曲线 $\theta$ 和 $\gamma$ 在点 $p$ 处某个坐标卡 $(U_1,\mathbf{x}_1)$ 下有相同的导数，即

$$\left.\frac{d(\mathbf{x}_1^{-1} \circ \theta)}{dt}\right|_0=\left.\frac{d(\mathbf{x}_1^{-1} \circ \gamma)}{dt}\right|_0,$$

那么在点 $p$ 处任意坐标卡 $(U_2,\mathbf{x}_2)$ 下，曲线 $\theta$ 和 $\gamma$ 也会有相同的导数．要证明这一点，只需注意到根据链式法则，

$$\left.\frac{d(\mathbf{x}_2^{-1} \circ \theta)}{dt}\right|_0=\left.\frac{d((\mathbf{x}_2 \circ \mathbf{x}_1)\circ(\mathbf{x}_1^{-1} \circ \theta))}{dt}\right|_0=\left.\frac{d(\mathbf{x}_2^{-1} \circ \mathbf{x}_1)}{dx}\right|_p\left.\frac{d(\mathbf{x}_1^{-1} \circ \theta)}{dt}\right|_0.$$

因此我们可以定义：曲线 $\theta$ 和 $\gamma$ 在点 $p$ 处等价，当且仅当存在点 $p$ 处的坐标卡 $(U,\mathbf{x})$，使得

$$\left.\frac{d(\mathbf{x}^{-1} \circ \theta)}{dt}\right|_0=\left.\frac{d(\mathbf{x}^{-1} \circ \gamma)}{dt}\right|_0.$$

记曲线 $\gamma$ 的等价类为 $[\gamma]_*$．而 $M$ 上所有过点 $p$ 的曲线在这种等价关系下的商集，就是 $M$ 在点 $p$ 处的切空间，记作

$$T_pM=\{[\gamma]_*:\gamma\text{ 是 $M$ 一条上经过点 $p$ 的光滑曲线}\}.$$

第二种定义：曲线导出的泛函

通过将切向量视作曲线的等价类，我们成功地将 $\mathbb{R}^n$ 中光滑曲面的切向量推广到了一般的光滑流形上．虽然这种切向量的定义比较直观，但如果想说明全体切向量构成的切空间是一个线性空间，我们还需要为曲线的等价类定义合适的加法与数乘运算．一个最直接的想法是，将曲线的等价类之和定义为曲线之和的等价类．但是，通过简单的尝试

$$\gamma(0)=\theta(0)=p\implies (\gamma+\theta)(0)=2p\ne p,$$

我们就能发现 $M$ 上过点 $p$ 的全体光滑曲线在普通的加法下无法构成线性空间．因此很可惜，这种思路是行不通的．当然，我们还可以去尝试定义一种全新的加法，但这毕竟不太方便，也不太自然．更好的思路，或许是重新审视我们对切向量的定义．

切向量定义的核心是导数

$$\left.\frac{d(\mathbf{x}^{-1} \circ \gamma)}{dt}\right|_0,$$

这是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个 $n$ 维向量．设

$$\begin{aligned} p_i:\mathbb{R}^n&\longrightarrow \mathbb{R}\\ (x_1,x_2,\cdots,x_n)&\longmapsto x_i \end{aligned}$$

为 $\mathbb{R}^n$ 中的投影函数，

$$\begin{aligned} \tilde{x}_i=p_i\circ \mathbf{x}^{-1}:M&\longrightarrow \mathbb{R}\\ p&\longmapsto x_i \end{aligned}$$

为光滑流形 $M$ 在点 $p$ 处给定坐标卡 $(U,\mathbf{x})$ 的坐标函数，我们有

$$\left(p_i\circ\left.\frac{d(\mathbf{x}^{-1} \circ \gamma)}{dt}\right)\right|_0=\left.\frac{d(p_i\circ\mathbf{x}^{-1} \circ \gamma)}{dt}\right|_0=\left.\frac{d(\tilde{x}_i \circ \gamma)}{dt}\right|_0.$$

于是，我们可以把导数展开写成

$$\left.\frac{d(\mathbf{x}^{-1} \circ \gamma)}{dt}\right|_0=\left(\left.\frac{d(\tilde{x}_1 \circ \gamma)}{dt}\right|_0,\left.\frac{d(\tilde{x}_2 \circ \gamma)}{dt}\right|_0,\cdots,\left.\frac{d(\tilde{x}_n \circ \gamma)}{dt}\right|_0\right).$$

我们把定义在光滑流形 $M$ 上且在 $p$ 点处光滑的全体函数记作 $\mathcal{D}_p(M)$，不难看出 $\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\cdots,\tilde{x}_n$ 都属于 $\mathcal{D}_p(M)$．我们每确定一个导数值 $\left.\frac{d}{dt}(\mathbf{x}^{-1} \circ \gamma)\right|_0$, 也就确定了泛函

$$\begin{aligned} v_\gamma:=\left.\frac{d(\cdot \circ \gamma)}{dt}\right|_0:\mathcal{D}_p(M)&\longrightarrow \mathbb{R}\\ f&\longmapsto \left.\frac{d(f \circ \gamma)}{dt}\right|_0 \end{aligned}$$

在 $\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\cdots,\tilde{x}_n$ 处的取值．事实上，泛函在 $\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\cdots,\tilde{x}_n$ 处的取值决定了它在整个 $\mathcal{D}_p(M)$ 上的取值．为了看清这一点，我们只需用坐标卡 $(U,\mathbf{x})$ 对 $f$ 和 $\gamma$ 作拉回和推前，并应用链式法则

$$\left.\frac{d(f \circ\gamma)}{dt}\right|_0=\left.\frac{d((f \circ \mathbf{x})\circ (\mathbf{x}^{-1}\circ \gamma))}{dt}\right|_0=\sum_{i=1}^n\left.\frac{\partial (f \circ \mathbf{x})}{\partial x_i}\right|_{p}\left.\frac{d(\tilde{x}_i \circ \gamma)}{dt}\right|_0.$$

因此，任给一条 $M$ 上经过点 $p$ 的曲线 $\gamma$， $\gamma$ 的等价类 $[\gamma]_*$ 与 $\gamma$ 导出的泛函 $\left.\frac{d}{dt}(\cdot \circ \gamma)\right|_0$ 之间存在一一对应的关系．因此，泛函 $\left.\frac{d}{dt}(\cdot \circ \gamma)\right|_0$ 可以被视做切向量的另一种等价定义．

我们还可以验证，$v_\gamma=\left.\frac{d}{dt}(\cdot \circ \gamma)\right|_0$ 是一个线性泛函，即

$$\left.\frac{d((f_1+f_2) \circ \gamma)}{dt}\right|_0=\left.\frac{d(f_1\circ \gamma+f_2\circ \gamma )}{dt}\right|_0=\left.\frac{d(f_1\circ \gamma)}{dt}\right|_0+\left.\frac{d(f_2\circ \gamma)}{dt}\right|_0,$$ $$\left.\frac{d((kf) \circ \gamma)}{dt}\right|_0=\left.\frac{d(k(f \circ \gamma))}{dt}\right|_0=k\left.\frac{d(f \circ \gamma)}{dt}\right|_0.$$

设 $\mathcal{D}_p(M)^*$ 表示 $\mathcal{D}_p(M)$ 的对偶空间，即 $\mathcal{D}_p(M)$ 上的全体线性泛函构成的线性空间．进一步，我们可以相应给出切空间的定义

$$T_pM=\left\{\left.\frac{d(\cdot \circ \gamma)}{dt}\right|_0\in\mathcal{D}_p(M)^*:\gamma\text{ 是 $M$ 上一条经过点 $p$ 的光滑曲线}\right\}.$$

设 $(U,\mathbf{x})$ 是点 $p$ 处的坐标卡，曲线

$$\begin{aligned} \varepsilon_i:(-\epsilon,\epsilon)&\longrightarrow M\\ t&\longmapsto\mathbf{x}(\tilde{x}_1(p),\cdots,\tilde{x}_i(p)+t,\cdots,\tilde{x}_n(p)) \end{aligned}$$

被称作坐标卡 $(U,\mathbf{x})$ 的 $x_i$-曲线．

根据上面的公式，可以求出 $x_i$-曲线导出的泛函

$$\left.\frac{d(f \circ\varepsilon_i)}{dt}\right|_0=\left.\frac{d((f \circ \mathbf{x})\circ (\mathbf{x}^{-1}\circ \varepsilon_i))}{dt}\right|_0=\sum_{k=1}^n\left.\frac{\partial (f \circ \mathbf{x})}{\partial x_k}\right|_{p}\left.\frac{d(\tilde{x}_k \circ \varepsilon_k)}{dt}\right|_0=\left.\frac{\partial (f \circ \mathbf{x})}{\partial x_i}\right|_{p}.$$

这 $n$ 个向量

$$(v_{\varepsilon_1},v_{\varepsilon_2},\cdots,v_{\varepsilon_n})=\left(\left.\frac{\partial (\cdot \circ \mathbf{x})}{\partial x_1}\right|_{p},\left.\frac{\partial (\cdot \circ \mathbf{x})}{\partial x_2}\right|_{p},\cdots,\left.\frac{\partial (\cdot \circ \mathbf{x})}{\partial x_n}\right|_{p}\right)$$

被称作坐标卡 $(U,\mathbf{x})$ 的 坐标切向量．

记坐标切向量张成的线性空间为 $\mathop{\mathrm{span}}\limits_{1\le i \le n}(v_{\varepsilon_i})$．容易看出，$T_pM$ 中的任意切向量都可以写成是坐标切向量的线性组合

$$v_\gamma(f)=\left.\frac{d(f \circ\gamma)}{dt}\right|_0=\sum_{i=1}^n\left.\frac{d(\tilde{x}_i \circ \gamma)}{dt}\right|_0\left.\frac{d(f \circ\varepsilon_i)}{dt}\right|_0=\sum_{i=1}^n\left.\frac{d(\tilde{x}_i \circ \gamma)}{dt}\right|_0v_{\varepsilon_i}(f),$$

即

$$v_\gamma = \sum_{i=1}^n\left.\frac{d(\tilde{x}_i \circ \gamma)}{dt}\right|_0v_{\varepsilon_i},$$

故 $T_pM\subset \mathop{\mathrm{span}}\limits_{1\le i \le n}(v_{\varepsilon_i})$．反之，任给坐标切向量的线性组合 $\sum_{i=1}^n\lambda_iv_{\varepsilon_i}$，令曲线 $\varepsilon$ 为

$$\begin{aligned} \varepsilon:(-\epsilon,\epsilon)&\longrightarrow M\\ t&\longmapsto\mathbf{x}(\tilde{x}_1(p)+\lambda_1t,\tilde{x}_2(p)+\lambda_2t,\cdots,\tilde{x}_n(p)+\lambda_nt), \end{aligned}$$

则有

$$v_\varepsilon(f)=\sum_{i=1}^n\left.\frac{d(\tilde{x}_i \circ \varepsilon)}{dt}\right|_0\left.\frac{d(f \circ\varepsilon_i)}{dt}\right|_0=\sum_{i=1}^n\lambda_iv_{\varepsilon_i}(f),$$

也即 $v_\varepsilon=\sum_{i=1}^n\lambda_iv_{\varepsilon_i}$．因此， $\mathop{\mathrm{span}}\limits_{1\le i \le n}(v_{\varepsilon_i})\subset T_pM$．综上可知，$T_pM=\mathop{\mathrm{span}}\limits_{1\le i \le n}(v_{\varepsilon_i})$，这就证明了 $T_pM$ 是一个线性空间．

进一步，我们还可以证明 $v_{\varepsilon_1},v_{\varepsilon_2},\cdots,v_{\varepsilon_n}$ 是线性无关的．事实上，不难验证

$$\left.\frac{d(\tilde{x}_j\circ\varepsilon_i)}{dt}\right|_0=\delta_{ij}=\begin{cases} 0,& i\ne j,\\ 1,& i=j. \end{cases}$$

如果

$$\sum_{i=1}^n\lambda_iv_{\varepsilon_i}=0,$$

让上式两边分别作用在 $\tilde{x}_j(1\le j\le n)$ 上可得

$$\sum_{i=1}^n\lambda_iv_{\varepsilon_i}(\tilde{x}_i)=\sum_{i=1}^n\lambda_i\left.\frac{d(\tilde{x}_j\circ\varepsilon_i)}{dt}\right|_0=\lambda_j=0,$$

这就证明了线性无关．于是我们知道， 给定一个坐标卡 $(U,\mathbf{x})$，导出的坐标切向量 $v_{\varepsilon_1},v_{\varepsilon_2},\cdots,v_{\varepsilon_n}$ 是线性空间 $T_pM$ 的一个基，这个基叫作切空间 $T_pM$ 在坐标卡 $(U,\mathbf{x})$ 下的 自然基底（associated basis）．切空间 $T_pM$ 的维数为 $n$．

第三种定义：层论语言

我们还可以使用层论的语言定义切向量与切空间．层论是一种更加抽象的理论，但它不仅适用于微分几何，还适用于更一般的几何．

预层（presheaf）基本上来说就是一个反变函子（contravariant functor）．集合预层是某个范畴 $\mathsf{C}$ 到集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的反变函子 $\mathcal{F}:\mathsf{C}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$．交换群预层则是某个范畴 $\mathsf{C}$ 到交换群范畴 $\mathsf{Ab}$ 的反变函子 $\mathcal{F}:\mathsf{C}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ab}$．任给 $\mathsf{C}$ 中一个对象 $X$，$\mathcal{F}(X)$ 的一个元素被称作 $\mathcal{F}$ 在 $X$ 上的一个 截面．

在研究某个光滑流形 $M$ 时，我们选定的 $\mathsf{C}$ 就是以 $M$ 的开集为对象、以开集间的包含映射（inclusion）为态射的范畴．我们考虑的预层则是某个开集 $X$ 上的全体光滑实值函数 $C^\infty(X;M\to\mathbb{R})$，在不至于混淆时可简记 $C^\infty(X)$．$C^\infty(\cdot)$ 可由如下交换图表示．

根据需要，$C^\infty(\cdot)$ 可以是实线性空间预层、环预层或者交换实代数预层．

给定 $M$ 中一点 $p$，将定义在包含点 $p$ 的开集上的光滑实值函数构成的集合记作

$$\widetilde{\mathcal{C}}_p=\{(\varphi,X):p\in X,\varphi\in C^\infty(X)\}.$$

集合 $\widetilde{\mathcal{C}}_p$ 模掉等价关系

$$(\varphi_1,X_1)\overset{p}\sim (\varphi_2,X_2)\iff\text{存在开集 }X_3\subset X_1\cap X_2,\text{使得 } \varphi_1|_{X_3}=\varphi_2|_{X_3}$$

得到的商集记作 $C^\infty_p$，称作点 $p$ 处的 光滑函数茎（stalk）．不难验证，光滑函数茎是一个交换实代数．光滑函数 $\varphi$ 所在的等价类记作 $[\varphi]_p$，称作 $\varphi$ 在点 $p$ 处的 光滑函数芽（germ）．

因为光滑函数芽内的所有光滑函数在点 $p$ 这个局部拥有完全相同的性质，所以将它们合并起来、不去计较它们之间的区别也是非常自然的．有了函数芽的语言，我们首先可以重写第二种定义．泛函 $\left.\frac{d}{dt}(\cdot \circ \gamma)\right|_0$ 之前是作用于定义在整个流形上且在点 $p$ 处光滑的函数 $f$，但 $f$ 在点 $p$ 某个邻域之外的性态其实是无用信息，甚至有没有定义都无关紧要．因此，我们完全可以设 $f$ 在点 $p$ 的某个开邻域内有定义，然后让 $\left.\frac{d}{dt}(\cdot \circ \gamma)\right|_0$ 直接作用于 $f$ 在点 $p$ 处的光滑函数芽 $[f]_p$，即定义

$$\begin{aligned} \left.\frac{d(\cdot \circ \gamma)}{dt}\right|_0:C^\infty_p&\longrightarrow \mathbb{R}\\ [f]_p&\longmapsto \left.\frac{d(f \circ \gamma)}{dt}\right|_0 \end{aligned}$$

和

$$T_pM=\left\{\left.\frac{d(\cdot \circ \gamma)}{dt}\right|_0\in (C^\infty_p)^*:\gamma\text{ 是 $M$ 上一条经过点 $p$ 的光滑曲线}\right\}.$$

其次，我们可以不借助曲线，用公理化的方式简洁地给出切向量的第三种定义：流形 $M$ 在点 $p$ 处的一个切向量就是一个定义在 $C^\infty_p$ 上的满足 Leibniz 律的线性函数．用形式化的方式写出来，就是

给定光滑流形 $M$ 和其上一点 $p$．若函数 $\nu:C^\infty_p\to\mathbb{R}$ 满足：对任意 $\lambda_1,\lambda_2\in \mathbb{R}$，任意 $[f]_p,[g]_p\in C^\infty_p$，

1. 线性：$\nu\left(\lambda_1[f]_p+\lambda_2[g]_p\right)=\lambda_1\nu([f]_p)+\lambda_2\nu([g]_p)$，
2. Leibniz 律：$\nu\left([f]_p[g]_p\right)=[f]_p\,\nu\left([g]_p\right)+\nu([f]_p)[g]_p$，

则称 $\nu$ 是流形 $M$ 在点 $p$ 处的一个切向量．流形 $M$ 在点 $p$ 处的切向量全体构成一个线性空间，记作 $T_pM$，称作 $M$ 在点 $p$ 处的切空间．

切映射

在定义了切空间之后，我们终于可以为光滑映射定义一种微分的类似物了——切映射．

设光滑流形 $(M_1,\tau_1,\Sigma_1), (M_2,\tau_2,\Sigma_2)$ 之间的映射 $f:M_1\to M_2$ 在点 $p$ 处光滑．又设 $\gamma$ 是 $M_1$ 上过点 $p$ 的一条曲线，其对应的切向量为 $\left.\frac{d}{dt}(\cdot \circ \gamma)\right|_0$．让 $f$ 作用于 $\gamma$，就可以得到 $M_2$ 上过点 $f(p)$ 的另一条曲线 $f(\gamma)$ 及其对应的切向量 $\left.\frac{d}{dt}(\cdot \circ f(\gamma))\right|_0$．将切向量 $\left.\frac{d}{dt}(\cdot \circ \gamma)\right|_0\in T_pM_1$ 映成

$$\left.\frac{d}{dt}(\cdot \circ f(\gamma))\right|_{0}\in T_{f(p)}M_2$$

的映射就叫做 切映射，记作 $(df)_p$．当然，要保证它是一个映射，我们要证明任给过点 $p$ 的曲线 $\gamma_1$ 和 $\gamma_2$，只要 $\left.\frac{d}{dt}(\cdot \circ \gamma_1)\right|_0=\left.\frac{d}{dt}(\cdot \circ \gamma_2)\right|_0$，就有

$$\left.\frac{d(\cdot \circ f(\gamma_1))}{dt}\right|_0=\left.\frac{d(\cdot \circ f(\gamma_2))}{dt}\right|_0.$$

我们在 $p$ 和 $f(p)$ 处分别选定坐标卡 $(U,\mathbf{x})\in\Sigma_1$, $(V,\mathbf{y})\in\Sigma_2$，并设这两个坐标卡对应的坐标函数分别为 $\tilde{x}_j=p_j\circ\mathbf{x}^{-1}$ 和 $\tilde{y}_i=p_i\circ\mathbf{y}^{-1}$，对应的自然基底分别为 $v_{\varepsilon_1},v_{\varepsilon_2},\cdots,v_{\varepsilon_n}$ 和 $v_{\eta_1},v_{\eta_2},\cdots,v_{\eta_m}$．注意到 $v_{f(\gamma)}$ 在自然基底下的表达式

$$\begin{aligned} v_{f(\gamma)}&=\left.\frac{d(\cdot \circ f(\gamma))}{dt}\right|_{0}\\ &=\sum_{i=1}^m\left.\frac{d(\tilde{y}_i \circ f(\gamma))}{dt}\right|_0v_{\eta_i}\\ &=\sum_{i=1}^m\left.\frac{d((\tilde{y}_i \circ f\circ\mathbf{x})\circ(\mathbf{x}^{-1}\circ\gamma))}{dt}\right|_0v_{\eta_i}\\ &=\sum_{i=1}^m\left.\frac{d(\tilde{y}_i \circ f\circ\mathbf{x})}{dx}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}\left.\frac{d(\mathbf{x}^{-1}\circ\gamma)}{dt}\right|_0v_{\eta_i}\\ &=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\left.\frac{\partial(\tilde{y}_i \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_j}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}\left.\frac{d(\tilde{x}_j\circ\gamma)}{dt}\right|_0v_{\eta_i} \end{aligned}$$

我们知道切映射确实是良定义的．此外，从上式可以看出，切映射是一个线性映射．

注意到

$$\begin{aligned} v_{f(\varepsilon_k)}&=\left.\frac{d(\cdot \circ f(\varepsilon_k))}{dt}\right|_{0}\\ &=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\left.\frac{\partial(\tilde{y}_i \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_j}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}\left.\frac{d(\tilde{x}_j\circ\varepsilon_k)}{dt}\right|_0v_{\eta_i}\\ &=\sum_{i=1}^m\left.\frac{\partial(\tilde{y}_i \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_k}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}v_{\eta_i}\\ &=\begin{pmatrix} v_{\eta_1}&v_{\eta_2}&\cdots&v_{\eta_m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \left.\frac{\partial(\tilde{y}_1 \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_k}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}\\ \left.\frac{\partial(\tilde{y}_2 \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_k}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}\\ \vdots\\ \left.\frac{\partial(\tilde{y}_m \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_k}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)} \end{pmatrix}, \end{aligned}$$

我们还可以进一步写出切映射 $(df)_p$ 在自然基底下的矩阵表示：

$$\begin{aligned} &\;\quad (df)_p \begin{pmatrix} v_{\varepsilon_1}&v_{\varepsilon_2}&\cdots&v_{\varepsilon_n} \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (df)_pv_{\varepsilon_1}&(df)_pv_{\varepsilon_2}&\cdots&(df)_pv_{\varepsilon_n} \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} v_{f(\varepsilon_1)}&v_{f(\varepsilon_2)}&\cdots&v_{f(\varepsilon_n)} \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} v_{\eta_1}&v_{\eta_2}&\cdots&v_{\eta_m} \end{pmatrix} \left.\begin{pmatrix} \frac{\partial(\tilde{y}_1 \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_1}&\frac{\partial(\tilde{y}_1 \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial(\tilde{y}_1 \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_n}\\ \frac{\partial(\tilde{y}_2 \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_1}&\frac{\partial(\tilde{y}_2 \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial(\tilde{y}_2 \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \frac{\partial(\tilde{y}_m \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_1}&\frac{\partial(\tilde{y}_m \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial(\tilde{y}_m \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_n} \end{pmatrix}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}\\ &= \begin{pmatrix} v_{\eta_1}&v_{\eta_2}&\cdots&v_{\eta_m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \left.\frac{\partial(\tilde{y}_i \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_j}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)} \end{pmatrix}_{m\times n}. \end{aligned}$$

我们发现，切映射 $(df)_p$ 在自然基底下的矩阵表示

$$J_pf:= \begin{pmatrix} \left.\frac{\partial(\tilde{y}_i \circ f\circ\mathbf{x})}{\partial x_j}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)} \end{pmatrix}_{m\times n}$$

正是函数 $\mathbf{y}^{-1}\circ f\circ\mathbf{x}$ 在 $\mathbf{x}^{-1}(p)$ 处的 Jacobi 矩阵．

余切向量与余切空间

定义

流形在点 $p$ 处的余切空间就是切空间 $T_pM$ 的对偶空间 $(T_pM)^*$，简记为 $T_p^*M$．余切空间中的向量称为余切向量．

如果我们希望直接定义余切空间，可以仅从 $C^\infty_p$ 出发，首先定义 $C^\infty_p$ 的一个子代数

$$\mathcal{I}_p=\{f\in C^\infty_p\mid f(p)=0\},$$

然后定义 $\mathcal{I}_p$ 的一个子代数

$$\mathcal{I}^2_p=\left\{\sum_if_ig_i\mid f_ig_i\in \mathcal{I}_p\right\},$$

流形在点 $p$ 处的余切空间可以定义为 $T_p^*M=\mathcal{I}_p/\mathcal{I}^2_p$.

自然基底的对偶基

因为 $T_pM\subset \left(C^\infty_p\right)^*$，所以 $T_p^*M\subset \left(C^\infty_p\right)^{**}$. 定义自然对（natural pairing）$\langle\cdot,\cdot\rangle$，它是如下双线性函数

$$\begin{aligned} \langle\cdot,\cdot\rangle:T_pM\times C^\infty_p&\longrightarrow\mathbb{R}\\ (v_\gamma,f)&\longmapsto\langle v_\gamma,f\rangle:=v_\gamma(f)=\left.\frac{d(f\circ \gamma)}{dt}\right|_{0}. \end{aligned}$$

任给 $f\in C^\infty_p$，定义

$$\begin{aligned} \langle\cdot,f\rangle:T_pM&\longrightarrow\mathbb{R}\\ v_\gamma&\longmapsto\langle v_\gamma,f\rangle, \end{aligned}$$

我们有 $\langle\cdot,f\rangle\in T_p^*M$．反之，根据 Riesz 表示定理，我们可以证明：任给 $w^*\in T_p^*M$，存在 $f\in C^\infty_p$，使得 $w^*=\langle\cdot,f\rangle$．如果考虑线性映射

$$\begin{aligned} h:C^\infty_p&\longrightarrow T_p^*M\\ f&\longmapsto\langle\cdot,f\rangle, \end{aligned}$$

那么我们有 $h(C^\infty_p)=T_p^*M$．这里，我们手动验证一下这个事实．给定坐标卡 $(U,\mathbf{x})$，我们有自然基底 $v_{\varepsilon_1},v_{\varepsilon_2},\cdots,v_{\varepsilon_n}$．注意到

$$\langle v_{\varepsilon_i},\tilde{x}_j\rangle=\left.\frac{d(\tilde{x}_j\circ\varepsilon_i)}{dt}\right|_0=\delta_{ij}\qquad(i=1,2\cdots,n,j=1,2\cdots,n),$$

余切向量 $\langle\cdot,\tilde{x}_1\rangle,\langle\cdot,\tilde{x}_2\rangle,\cdots,\langle\cdot,\tilde{x}_n\rangle$ 就是自然基底的对偶基．要手动验证 $\langle\cdot,\tilde{x}_1\rangle,\langle\cdot,\tilde{x}_2\rangle,\cdots,\langle\cdot,\tilde{x}_n\rangle$ 确实是 $T_{p}^*M$ 的基也很简单．一方面，对偶基的长度等于 $T_p^*M$ 的维度．另一方面，若

$$\lambda_1\langle\cdot,\tilde{x}_1\rangle+\lambda_2\langle\cdot,\tilde{x}_2\rangle+\cdots+\lambda_n\langle\cdot,\tilde{x}_n\rangle=0,$$

让上式依次作用在自然基底的基向量 $v_{\varepsilon_i}(i=1,2\cdots,n)$ 上可以得到 $\lambda_i=0$，故余切向量

$$\langle\cdot,\tilde{x}_1\rangle,\langle\cdot,\tilde{x}_2\rangle,\cdots,\langle\cdot,\tilde{x}_n\rangle$$

是线性无关的．综上，我们证明了 $\langle\cdot,\tilde{x}_1\rangle,\langle\cdot,\tilde{x}_2\rangle,\cdots,\langle\cdot,\tilde{x}_n\rangle$ 是 $T_p^*M$ 的基，以及 $h(C^\infty_p)=T_p^*M$．

自然基底的对偶基还与 $\tilde{x}_i$ 的切映射 $(d\tilde{x}_i)_p$ 有密切的联系．对于在点 $p$ 处光滑的函数 $f:M\to \mathbb{R}$, 其在点 $p$ 处的切映射为

$$\begin{aligned} (df)_p:T_pM &\longrightarrow T_{f(p)}\mathbb{R}\\ v_\gamma&\longmapsto v_{f(\gamma)}. \end{aligned}$$

我们分别在点 $p$ 和 $f(p)$ 处选定坐标卡 $(U,\mathbf{x})$ 和 $(\mathbb{R},\mathrm{id}_{\mathbb{R}})$，由此产生自然基底 $v_{\varepsilon_1},v_{\varepsilon_2},\cdots,v_{\varepsilon_n}$ 和 $v_{\tau}$，其中

$$v_{\tau}=\left.\frac{\partial (\cdot \circ\mathrm{id}_{\mathbb{R}})}{\partial y}\right|_{f(p)}=\left.\frac{d (\cdot )}{d y}\right|_{f(p)}.$$

切映射 $\left(df\right)_{p}$ 在自然基底下的矩阵表示为

$$(df)_p \begin{pmatrix} v_{\varepsilon_1}&v_{\varepsilon_2}&\cdots&v_{\varepsilon_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{\tau} \end{pmatrix} \left.\begin{pmatrix} \frac{\partial(f\circ\mathbf{x})}{\partial x_1}&\frac{\partial(f\circ\mathbf{x})}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial(f\circ\mathbf{x})}{\partial x_n} \end{pmatrix}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}.$$

特别地，当 $f$ 取 $\tilde{x}_i$ 时，有

$$(d\tilde{x}_i)_p \begin{pmatrix} v_{\varepsilon_1}&v_{\varepsilon_2}&\cdots&v_{\varepsilon_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{\tau} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \delta_{1i} &\delta_{2i}&\cdots&\delta_{ni} \end{pmatrix}.$$

考虑交换图

若记 $(dx_i)_p:=\mathrm{coor}^{v_{\tau}}\circ (d\tilde{x}_i)_p$，我们有 $(dx_i)_p\in T^*_pM$，以及

$$(dx_i)_p(v_{\varepsilon_j})=\delta_{ij}.$$

这说明 $(dx_1)_p,(dx_1)_p,\cdots,(dx_n)_p$ 是自然基底 $v_{\varepsilon_1},v_{\varepsilon_2},\cdots,v_{\varepsilon_n}$ 的对偶基，且有

$$(dx_i)_p=\langle\cdot,\tilde{x}_i\rangle\qquad(i=1,2,\cdots,n).$$

微分公式

因为

$$\left.\begin{pmatrix} \frac{\partial(f\circ\mathbf{x})}{\partial x_1}&\frac{\partial(f\circ\mathbf{x})}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial(f\circ\mathbf{x})}{\partial x_n} \end{pmatrix}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}=\sum_{i=1}^n\left(\left.\frac{\partial(f\circ\mathbf{x})}{\partial x_i}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}\right) \begin{pmatrix} \delta_{1i} &\delta_{2i}&\cdots&\delta_{ni} \end{pmatrix},$$

所以

$$\begin{aligned} (df)_p \begin{pmatrix} v_{\varepsilon_1}&v_{\varepsilon_2}&\cdots&v_{\varepsilon_n} \end{pmatrix}=&\begin{pmatrix} v_{\tau} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \delta_{1i} &\delta_{2i}&\cdots&\delta_{ni} \end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix} v_{\tau} \end{pmatrix} \sum_{i=1}^n\left(\left.\frac{\partial(f\circ\mathbf{x})}{\partial x_i}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}\right) \begin{pmatrix} \delta_{1i} &\delta_{2i}&\cdots&\delta_{ni} \end{pmatrix}\\ =&\sum_{i=1}^n \left(\left.\frac{\partial(f\circ\mathbf{x})}{\partial x_i}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}\right) \begin{pmatrix} v_{\tau} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \delta_{1i} &\delta_{2i}&\cdots&\delta_{ni} \end{pmatrix}\\ =&\sum_{i=1}^n \left(\left.\frac{\partial(f\circ\mathbf{x})}{\partial x_i}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}\right) (d\tilde{x}_i)_p \begin{pmatrix} v_{\varepsilon_1}&v_{\varepsilon_2}&\cdots&v_{\varepsilon_n} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

于是我们得到了下式

$$\begin{aligned} (df)_p=&\sum_{i=1}^n\left(\left.\frac{\partial(f\circ\mathbf{x})}{\partial x_i}\right|_{\mathbf{x}^{-1}(p)}\right)(d\tilde{x}_i)_p\\ =&\sum_{i=1}^n\langle v_{\varepsilon_i},f\rangle(d\tilde{x}_i)_p. \end{aligned}$$

这就是 $\mathbb{R}^n$ 上光滑函数的微分公式在流形上的推广．

光滑微分同胚

如果光滑流形 $(M_1,\tau_1,\Sigma_1)$ 到 $(M_2,\tau_2,\Sigma_2)$ 之间的映射 $f:M_1\to M_2$ 在点 $M_1$ 上处处光滑，我们称 $f$ 是 $(M_1,\tau_1,\Sigma_1)$ 到 $(M_2,\tau_2,\Sigma_2)$ 的光滑函数，也称 $f$ 在 $M_1$ 上光滑．

如果 $M_1$ 到 $M_2$ 的光滑函数 $f$ 是双射，且逆映射 $f^{-1}$ 是 $M_2$ 到 $M_1$ 的光滑函数，则称 $f$ 是 $M_1$ 到 $M_2$ 的 光滑微分同胚，也称 $M_1$ 与 $M_2$ 光滑微分同胚．我们将光滑微分同胚简称为光滑同胚．

一个值得研究的问题就是通过光滑同胚对拓扑流形上可能存在的光滑结构进行分类．有些文献在定义光滑结构时，就直接在本文定义的基础上，模掉了光滑同胚等价关系．本文为了避免混淆，称模掉了光滑同胚的光滑结构等价类为 光滑型．

Hassler Whitney 的结果表明，只要 $r\ge 1$，任何 $C^r$ 微分结构都会包含一些光滑结构，并且这些光滑结构都是光滑同胚的，即对应一种光滑型．因此，我们也可以用光滑型分类 $C^r$ 微分结构．这也是为什么本文将重点放在在光滑流形和光滑函数上．

维数小于等于 3 的拓扑流形，只有一种光滑型。维数大于等于 3 的紧拓扑流形，光滑型的个数是有限的．当 $n\ne 4$ 时，$\mathbb{R}^n$ 只有一种光滑型．$\mathbb{R}^4$ 则有不可数多个光滑型．